Analízis alapkészségek

Csak az első éves minimumot vázolom. Ez böven kitölti az időt, és aki ezeket egy matekképzés után nem ismeri, az azért veszít az életminőségéből. De nem feltétlenül gondolom ezt mind analízisbe, hívhatunk ebből néhány dolgot geometriának.

Mindeképp kellene válogatni mi fontosabb, mi kevésbé. Amit fontosnak tartunk ahhoz tartozzon rendesen gyakorlat, akár előadás nélkül, a módszerekre koncentrálva a "szép (vagy helyes, vagy korrekt) felépítés" helyett. Erre is teszek javaslatot.

(A bizonyításokat vagy csak egyszerű feltételek mellett, vagy teljesen későbbre hagyva egy valódi analízis órára. Ez lehet a 3. félévben (ekkor két szinten) vagy még később.)

Az alábbiak fő  motivációja a Gyemidovics, de nagyon megvágtam, és nem csak az alapozás részeknél. (Sorozatok pl. csak mint asorok részeltösszegei szerepelnek.) A tervezet egyébként elég nagy részben megegyezik sok elit egyetem (MIT, Cambridge, Yale, Harvard) anyagával.

Elemi módszerek: (1. félév 0+3) Ezt gyakorolni kell, kézügyesség szinten.

A hallgató

-- Nem zavarodott össze a valós számok "alapozásával" járó nehézségekkel, mert nem látta őket. (A tapasztalat azt mutatja, hogy a matematikai bizonyításokba való bevezetés a valós számokon keresztül nagyon korai, a diákok többsége nem tart itt. Ez érettebb diákoknak való, akkor haladni is gyorsabban lehet majd. Másrészt éretlen diákokkal a matematikai bizonyítások teljes anatómiai vizsgálata a valós számok kapcsán azt eredményezi, hogy addig nem tudunk eljutni, ahol a 1700-as évek elején tartott az analízis.)

Viszont

--  Képes lesz (bebizonyítani és) alkalmazni a deriválási szabályokat.

-- Tudja alkalmazni a differenciálszámítást szélsőértékproblémák megoldására.

-- Ismeri az integrál definícióját, és annak kapcsolatát a deriválással. Képes elemi integrálokat meghatározni.

-- Az integrálás alapmódszereivel meg tud oldani egyszerű differenciál egyenleteket.

-- Ismeri az elemi függvények polinomiális közelítéseit. Tisztában van a hatványsor konvergencia sugarának fogalmával, és meg tudja adni az elemi függvények hatványsorba fejtését.

Végtelen sorok: (2. félév 2+0) Ez nagyjából a Császár-Turczy könyv alapján, amit levelezőknek, estiseknek adtak anno. Menni fog előadás és házi feladat alapon. Esetleg fakultatív számítógépes labor jó lenne hozzá. (Heti egy órában amit inkább 2 hetente két órában jó tartani.) 

Amit itt felsorolok, majdnem mind ismert volt 1829-re, beleértve a Fourier sorok konvergenciájának eseteit is (Dirichlet).

A hallgató a kurzus elvégzése után

-- Érti a végtelen sor konvergenciájának fogalmát, és tudja használni a legismertebb konvergencia kritériumokat.

-- Megismerte az improprius integrál fogalmát és tudja használni végtelen sorok vizsgálatában.

-- Ismeri a hatványsorok tagonkénti deriválásáról és integrálásáról szóló tételeket, és képes azokat használni.

-- Meg tudja határozni egy függvény Fourier sorát, és ismeri a Fourier sorok legalapvetőbb alkalmazásait.

-- (Megismerte, hogy egy függvény Fourier sora többféle értelemben állíthatja elő a függvényt. Ismer egyszerű feltételeket amik garantálják a Fourier-sor pontonkénti, vagy egyenletes konvergenciáját.)

Elemi vektorszámítás (1. félév 0+3) Ha nem a deriválási, inetgrálási technikákban polinomokra, elemi föggvényekre szorítkozunk, akkor meg van a háttér. Azokon keresztül a többváltozóban megjelenő új jelenségekre, új gondolkodásmódra tudunk szorítkozni. Számítógépes vizualizáció nagyon jó lenne hozzá. 

Nyilvánvaló nem jutottunk nagyon messze, (cca 1800) de ha ezt kihagyjuk, akkor az egész többváltozó egy légvár lesz. (A legtöbb embernek.)

A hallgató kurzus elvégzése után

-- Ismeri a vektorműveleteket és fel tudja írni sík, egyenes egyenletét


-- Ki tudja számolni mozgó részecske sebességát, gyorsulását, a leírt pálya hosszát, görbületét. 

-- Ki tudja számítani két és három változós függvények görbe menti deriváltját.

-- Meg tudja határozni két és három változós függvények első és másodrendű közelítéseit. Ismeri a kritikus pontok szerepét a szélsőértékszámításban.

-- Meg tudja vizsgálni két változós függvények szintvonalait, illeve 3 változós függvények szintfelületeit a gradiens segítségével.

-- Ismeri a Lagrange féle multipkikátor módszer geometriai jelentését és képes a módszert alkalmazva feltételes szélsőértéket számolni.

-- Képes egy vektormezőt és integrálgörbéit ábrázolni.

Haladó vagy alkalmazott vektorszámítás (2. félév 2+0) A fizikai alkalmazások megfelelő környezetbe helyezik az eddig tanultakat.

Na, a Schrödinger miatt már eljutink at 1920-as évekig. Szuper. Ha azt levesszük, akkor még mindig a XIX. században járunk.

A hallgató kurzus elvégzése után

-- Ismeri a kettős és hármas integrál intuitív fogalmát és ki tudja azokat számolni szukcesszív integrálással. 


-- Képes polár és gömbi koordinátákban deriválni és integrálni

-- Ki tudja számolni skalár vagy vektormező vonalintegrálját, feluleti integrálját a definíció alapján, vagy az integráltételekből.


-- Megismerte a matematika szerepét a fizikában: Newtonból Kepler, Maxwell diffenerenciál és integrál alakok egyenértékűsége, A folytonossági egyenlet folyadékok dinamikájában, A Laplace operátor szerepe a hővezetés, a hullámterjedés és a Schrödinger egyenletekben.

Analízis 3. félév. Két szinten, és elég szabadon. Mindenki úgy alapoz ahogy akar, a lényeg, hogy bizonyítani tanulnak. 

Az alapozás kiindulópontja ad hoc. Miért nem a Peano axiómák? Az alapozás legjobb módjáról minden általam ismert matematikusnak saját elképzelése van. Ennek a módját nem érdemes előrírni.

Alternatív lehetőség analízis órára: a kölönböző hatérképzések, (limesz, integál, sor) felcserélhetőségének technikái. (Euler-Fubini-Petruska tételkör.) Ez vsz ráér később, bár matematikusnak nagyon hasznos már itt.