A Csoportok és gyűrűk (alternatív kötelező), illetve a Testek és modulusok (blokk) című tárgyak

Az alábbi tematikában csak azt sorolom fel, ami az algebra kötelező törzsanyagban nem szerepel. Itt sem tükrözi feltétlenül a felépítés sorrendjét a tematika. Együtt szerepel a két tárgy tematikája, mert az lenne az elképzelés, hogy akik a Csoportok és gyűrűket veszik fel, azoknak kötelező a Testek és modulusok is (az Absztrakt algebra és alkalmazásai tárgyat csak a kettő együtt váltja ki).

-----

Törzsanyag:

Sylow-tételek. Szabad csoport, csoport megadása generátorokkal és relációkkal.

Krull tétele maximális ideál létezéséről. Noether-gyűrűk, Hilbert bázis-tétele. Egész elemek gyűrűbővítésben.

A Galois-elmélet főtétele, Galois-kapcsolat a közbülső testek és a részcsoportok között. A Galois-csoport mint a polinom gyökeinek permutációcsoportja.

Geometriai szerkesztések, nevezetes lehetetlenségi tételek. Körosztási bővítések Galois csoportja. Radikálbővítések jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával. A legalább 5-ödfokú egyenletre nem létezik gyökképlet. Minden testnek létezik algebrai lezártja.

Modulusok. Minden modulus szabadnak faktormodulusa. Elem, ill. modulus annullátora. \(\operatorname{Hom}_R(A,B)\) mint Abel-csoport, ha \(R\) kommutatív, akkor \(R\)-modulus. Projektív, ill. injektív modulusok. Projektív modulusok, mint szabad modulusok direktösszeadandói. Tenzorszorzat mint a bilineáris függvények klasszifikálója, megadása generátorokkal és relációkkal. Egzakt sorozatok, kommutatív diagramok, a \(\operatorname{Hom}\) és a \(\otimes\) egzaktsági tulajdonságai. Főideálgyűrű feletti végesen generált modulusok. Kapcsolat Jordan-féle normálalakkal, illetve a véges Abel-csoportok alaptételével. Jacobson radikál, Nakayama lemma. Schur-lemma, test fölötti végesdimenziós egyszerű algebrák jellemzése ferdetest feletti mátrixgyűrűkként.


További opcionális témák:


1) Csoportelmélet: Jordan-Hölder tétel. Nilpotens csoportok jellemzése alsó és felső centrális lánccal, illetve Sylowok direkt szorzataként. Injektív és osztható Abel-csoportok. Hall tételei. Csoportalgebra, Maschke-tétel. Csoportreprezentációk és karakterek, Burnside kétprímes tétele.


2) Kommutatív gyűrűk: Hilbert nullhelytétele. Prímérfelbontás, Lasker-Noether tétel.


3) Nemkommutatív gyűrűk: féligegyszerű modulusok és gyűrűk. A Wedderburn-Artin tétel általános alakja. Kvaternióalgebrák, kapcsolatuk kvadratikus alakokkal. Centrális egyszerű algebrák és klasszifikációjuk Galois-kociklusokkal.


4) Hálók. Részben rendezett halmaz. Legkisebb felső korlát, legnagyobb alsó korlát, háló. A hálók megadása a műveletekre vonatkozó axiómarendszerrel. A két definíció ekvivalenciája. Moduláris és disztributív hálók. A normálosztóháló, ill. a részmodulusháló moduláris. Stone-tétel disztributív hálókra. Komplementum. Boole-algebra.


5) Univerzális algebra. Általános algebrai struktúrák, típus. Részalgebra, homomorfizmus direkt szorzat. Azonosság, azonosságokkal definiálható osztály, varietás. Szabad algebra. Birkhoff tétele.


6) Kategóriák és funktorok. Természetes transzformációk. Adjungált funktorok, a \(\otimes\) és a \(\operatorname{Hom}\) egymás adjungáltjai. A szabad objektumok mint a \(\operatorname{Set}\)-be menő felejtő funktor adjungáltjának képei. Yoneda-lemma.


7) Newton-poligonok, irreducibilitási kritérium, kapcsolat a Puiseux-sorfejtéssel. \(p\)-adikus számok, Ostrowski tétele \(\mathbb{Q}\)-n értelmezett abszolútértékekről. Rendezett gyűrűk és testek.