Analízis 1-3 tematika

1. sup, inf, valós számok
2. sorozatok, sorok, lim fogalom
3. függvény, derivált, folytonosság
4. monotonitás, konvexitás, szélsőérték
5. Rolle, Lagrange, L'Hospital
6. Elemi függvények
7. Taylor polinom, hatványsor, Taylor sor, e^x
8. elemi diffegyenletek
9. Határozatlan integrál, függvény alatti terület, integrálási technikák
10. Határozott integrál , Newton-Leibnitz, Határozott integrálra vezető feladatok, pl. súlypont
11. Improprius  integrál, alkalmazások
12. Numerikus sorok, mértani, harmonikus, kritériumok, integrálkritérium: hiperharmonikus sorok
13. Többváltozós függvények, grafikon, görbék, felületek és egyenleteik.
14. Többváltozós differenciálszámítás, derivált, és függvény elsőrendű közelítése, grafikon érintősíkja, iránymenti derivált, parciális deriváltak,
15. gradiens, szintvolanak, vektormezők, Jacobi mátrix, Lagrange középértéktétel  és egyenlőtlenség, lánc-szabály
16. Implicitfüggvény tétele
17. Többszörös derivált,  Hesse mátrix, Young tétele, Taylor formula, kvadratikus alakok (ez biztos, hogy kell?), lokális szélsőértékek, nyeregpont
18. Metrika, metrikus terek, folytonosság fogalma, nyílt és zárt halmazok, határpont,
19. Korlátos zárt halmazon folyt fv.
20. Feltételes szélsőértékek, Lagrange multiplikátor elv.
21. Komplex deriválhatóság, geometriai jelentés,hatványsor komplex számokkal, e^{z} Euler formula.
22. Banach fixponttétel, (sorozat)kompaktság, Weierstrass, Heine
23. Norma, normált terek, egyenletes konvergencia C([0,1])-en, ekvivalencia,  lineáris operátor, operátornorma (2x2-es mátrixokra), hatványsorok mátrixokra (pl. invertálás Neumann sorral)
24. Többszörös integrál, Fubini, Cavalieri elv, alkalmazások
25. Integráltranszformáció és paralelepipedon térfogata (det, mint térfogat), polár, gömbi (henger) koordináták
26. Görbe, ívhossz, vonalintegrál, Newton-Leibnitz tétel
27. Potenciálfv. létezése, meghatározása
28. Green tétele, kapcsolat a területszámítással
29. Felszín
30. Fourier sorok, Fourier transzformált
31. Variációszámítás

Egy volt matematikus hallgatónk és HÖK vezető véleménye a reform tervről

Az első kérdés, amit meg kell válaszolni, hogy miről szól a matematika BSc képzés, mi az, amit elvárunk tőle, milyen funkciót tulajdonítunk neki. Ha ebben a fundamentális kérdésben sikerült konszenzusra jutni, akkor ebből le lehet vezetni, hogy milyen struktúra kínál optimális kereteket az adott cél eléréséhez.

Sok célt lehetne kitűzni, de például azt méretgazdaságossági szempontokból, a külföldi hallgatók kis létszámából és az egyéb a matematika képzés felé támasztott igényekből kifolyólag nem tartom reálisnak, hogy a BSc fő célja a kutatói pályára való felkészítés legyen – ami persze önmagában egyáltalán nem jelenti azt, hogy erre ne lehetne alkalmas.

Ahogy arra utaltam, a mélyebb matematikai tudásra számos terület igényt tart – természetesen nem taxatív a felsorolás, de a matematikai tudás jól hasznosítható a társadalomtudományok, data science, orvostudomány, informatika (AI, deep learning, etc.), statisztika, pénzügy és végül a természettudományok területén egyaránt. Ezeket az igényeket is figyelembe véve az én értelmezésem szerint – aminek szubjektivitását nem győzöm hangsúlyozni –, a matematika BSc fő feladata az lenne, hogy a hallgató

1. a képzés végére sajátítsa el a matematikai gondolkodásmódot,
2. képes legyen matematikailag interpretálni problémákat,
3. legyen egy átfogó képe a matematikáról, ami alapot jelenthet a későbbiekben számára fontos matematikai ágak mélyebb megértéséhez és
4. a rendelkezésére álló matematikai eszköztár és ismeretek birtokában képes legyen alapszintű matematikai problémák önálló megoldására.

(1) Az első pontot azért mondanám, mert a matematikai gondolkodásmód egy olyan megkülönböztető attribútuma a matematikusoknak, amik lexikális ismereteiktől függetlenül teszik őket alkalmassá komplex problémák hatékony megoldására, amire területtől függetlenül egyértelműen szükség van.

(2) A második pont valamelyest redundáns az elsővel, ugyanis a matematikai gondolkodásmódba akár beleérthető a problémák matematikai interpretációjának képessége is. Ugyanakkor kicsit más jellegű ez a pont, mivel nem a szabatos, logikus, strukturált gondolatvezetést értem most alatta, hanem azt, hogy a kontextustól függetlenül a hallgató felismerje a matematikai problémákat. Ha egy matematikus hallgató csak úgy tud megoldani egy lényegében differenciálegyenletet jelentő problémát, hogy azt matematikai kontextusba helyezik számára, akkor tudásának alkalmazhatósága (és az, hogy mennyire érti a szóban forgó matematikai területet) erősen megkérdőjeleződik.

(3) Harmadikat a képzés kétszintű struktúrában elfoglalt alapozó szerepéből származtatom. Nem cél, hogy egy-egy terület irányába a hallgató specializálódjon, legfeljebb, hogy érdeklődési körének megfelelően orientálódjon. Cél, hogy kialakulhasson egyáltalán egy kép benne a matematika különböző területeiről és azonosíthassa, hogy ő mivel szeretne foglalkozni, mihez van affinitása.

(4) Végül a negyedik pedig a színvonal zsinórmértéke számomra. Az eddigiekben inkább arról volt szó, hogy a matematikán kívül hogyan tudja alkalmazni a végzett hallgató a matematikai eszköztárát, de ugyanakkor az is fontos, hogy a matematikai problémamegoldó képessége elérjen egy előre meghatározott szintet, hiszen a matematikai tudás hasznosíthatósága végső során ezen áll majd vagy bukik.

A kérdés az – számomra –, hogy ennek a célnak mennyire optimális a jelenlegi felépítés.

1. A matematikai precizitás és a problémamegoldás kezdetektől fogva – néha talán kissé az intuíció rovására is – benne van a képzésben, így ennek megfelelően ennél a pontnál én nem érzek nagy hiányosságot. (Ha valamit azért ki kéne emelnem, akkor: ez valószínűleg rendszerszinten nem kezelhető, de sokszor volt olyan érzésem a gyakorlatokon, hogy a hirtelen előhúzott bizonyítások megszületésében szinte kizárólagos az intuíció szerepe, ezzel szemben úgy látom, hogy valamilyen szintű strukturáltság mindig jelen van a gondolkodási folyamatban, amely problémákhoz való megközelítés sokszor nem kerül bemutatásra. Voltak gyakorlatok, ahol tényleg nagyon jól prezentálni tudta a gyakorlatvezető azt, hogy ő milyen logikával közelít meg egy problémát és hogyan találja meg a megoldást, de néha csupán magának a megoldásnak a bemutatására került sor. A hasznosabb inkább a második.)
2. Elméleti matematikával foglalkozókat kevésbé érinti ez a kérdéskör és náluk kevésbé is hiszem, hogy problémát jelentene feltételezve esetükben a matematikának egy eleve mélyebb megértését, de másoknál azt sejtem, hogy lenne még hova fejlődni. Ugyanitt érdemes talán megjegyezni a képzés általam érzékelt legnagyobb hiányosságát. Miszerint túlságosan a kutatói létre, a matematikán belüli további elmélyedésre készít fel. Ezzel szemben teljesen reális életpályának kellene lennie annak, hogy valaki, aki elméleti fizika iránt érdeklődik matematika alapképzésre jön, hogy stabil matematikai apparátussal és precíz definíciók birtokában mélyülhessen el a fizikában, holott ezt egyáltalán nem könnyíti meg a mostani képzési struktúra. Itt talán a kötelezően választható tárgyak egy szélesebb spektruma tudná leghatékonyabban kezelni ezt a problémát.
3. Itt a képzés úgy gondolom erős. Ezzel szemben talán szükségtelenül erős, ami a rugalmasság rovására megy. Kell lennie egy önmérséklettel megállapított minimum matematikai törzsanyagnak, amelybe beletartoznak a legfontosabb matematikai fogalmak és tételek, valamint amely betekintést képes nyújtani egy-egy területbe, viszont a hallgató számára biztosítani kellene az orientáció lehetőségét is. Aki tudja magáról, hogy kutató szeretne lenni, annak ehhez kellene rugalmasan lehetőséget biztosítani, aki viszont később inkább informatikai területen szeretné kamatoztatni a tudását, annak egy igazán versenyképes képzés tud erre is lehetőséget nyújtani. Az arányokat nem tudnám megállapítani, de hozzávetőlegesen azt mondanám, hogy az első két év töltse be a törzsanyag átadásának funkcióját, míg a harmadik teremtsen lehetőséget az érdeklődésnek megfelelő orientációra.
4. Szintén erősnek érzem ebből a szempontból a képzést, de itt a „kevesebb néha több” elvet tudnám említeni. Például, bár tanultam matematikai statisztikát, nem is rossz eredménnyel el is végeztem a megfelelő tárgyat, de azt érzem, hogy a legegyszerűbb (már nem triviális) statisztikai feladat megoldásához se tudnék kapásból nekiállni. Ha kevesebb lett volna az anyag anno, de ez az érzés nem lenne most meg, akkor sokkal hatékonyabbnak tartanám a tárgy oktatását. (Félreértés ne essék: nem a statisztika ellen van a példa.)

Ezek mellett még számos olyan megfontolandó tényezőt tudnék említeni, ami alátámaszthatja bizonyos változtatások szükségességét – például eltérés a kredit/óra arányban más európai felsőoktatási intézményekhez képest, de a strukturálisan általam legfontosabbnak ítélteket szerettem volna egy célfüggvényből valamelyest eredeztetni.

Összességében: álláspontom szerint – bár egyáltalán nem alacsony a színvonal –, de néhány kardinális ponton végrehajtott átalakítással sokkal hatékonyabbá és a hallgatók számára értékesebbé tehető a képzés.

Mivel volt alkalmam a reformmal kapcsolatos anyagokra is rátekinteni, ezért röviden reflektálnék az ott említett főbb átalakítási irányokra is:

• Alapkészségek és alaptudás stabilabb legyen (hogyan szerepelnénk egy képzeletbeli PISA felmérésen).
  • Egyetértek.
• Több önálló munka, kevesebb frontális oktatás.
  • Egyetértek. Bár személyesen – kevés kivételtől eltekintve – nagyon hasznosnak gondolom az előadásokat megértés szempontjából, de a megértésnél tapasztalatom szerint sokkal fontosabb az önálló munka. Ennek aránya valószínűleg pedig csak a frontális oktatás rovására növelhető.
  • Még egy ötlet: sok helyen alkalmazzák azt a módszert, hogy ha van tankönyv és/vagy jegyzet az előadáshoz (ami szintén javaslat), akkor a hallgatóknak az előadásra előre fel kell készülniük abból az anyagból amiről szó lesz (el kell olvasniuk a bizonyítást például). Így az előadás már ténylegesen a megértésre, vagy annak mélyítésére fókuszálhat (amire a leginkább kéne). Ez talán inkább csak kommunikáció kérdése, de érdemes lehet így kommunikálni.
• A képzés rugalmasabbá tétele (tantárgyválasztás, átjárhatóság).
  • Maximálisan egyetértek.
  • Én itt jegyezném meg, hogy az előfeltételek oldására vonatkozó javaslattal is mélységesen egyetértek. Jelenleg az előfeltétel-rendszer egyik legfontosabb funkciója a hallgatói létszám kontrollja bizonyos kurzusok esetén (bár matematika képzés esetén ez kevésbé igaz). Ha egy hallgató képes elvégezni egy tárgyat úgy, hogy nem végezte el a hozzá megállapított előfeltételt, az két dolgot jelenthet: vagy nem volt igazából szükséges hozzá az előfeltételnek megállapított tárgy, vagy de és képes volt pótolni a hiányosságait. Egyik esetben sem indokolt az előfeltétel megléte (vagy rossz a számonkérés mikéntje, aminek megint nem szabadna előfordulnia ideális esetben). Ha meg nem tudja elvégezni, az a hallgató felelőssége, ahogy az az előfeltétel elvégzése esetén is lenne. Summa summarum, bármilyen felállást nézünk, magának a teljesíthetőségnek a szempontjából nem sok relevanciája van a rendszernek (természetesen sok egyéb, pl.: vizsgáztatás, teremkapacitás, etc. szempontjából van, de ez talán nem a matematika képzést sújtja leginkább).
  • Ehhez a témához: egy oktatóval való beszélgetésem alkalmával is szóba került ez a probléma. Akkor két egyébként teljesen jogos ellenérv érkezett: egy emeltebb szintű tárgy esetén az oktató nem feltétlenül akar azzal foglalkozni, hogy alapszintű dolgokat elismételjen, amit ő már szívesen feltételezne, hogy megtanultak korábban a hallgatók. Itt jött a felvetésem, hogy igazából a hallgató felelőssége vagy jól felfogott érdeke ezeknek a hiányzó ismereteknek a pótlása, mire a második érv is elhangzott: igen, lehet idővel majd pótolja, de addig is, az oktatónak borzalmasan demotiváló, ha látja a hallgatók szemén, hogy igazán nem értik miről van szó – ebben a formában egy előadásnak valóban nincs sok értelme.
  • Ez a hatás talán kevésbé jelentős, ha van jegyzet is a kurzushoz, illetve még szóba jöhet egy szintfelmérő megírása a kurzus elején (de ez a jelenlegi szabályok alapján nem hiszem, hogy a felvétel akadálya lehet).
• A többség nem az akadémiai szférában helyezkedik el, igazítsuk jobban hozzájuk a képzés nekik szánt részét.
  • Erre én is utaltam, egyetértek.
• A számonkérés fókusza: nem a szelektálás a cél, hanem a hallgatókat ahhoz segíteni, hogy az alapvető készségeket és lexikális tudást megszerezzék. Abból indulunk ki, hogy akiknek magas szintű képzést ajánlunk, azok a tudás megszerzéséért jönnek ide.
  • Utalás szintjén ez is volt korábban. Viszont azt sajnos tudomásul kell venni, hogy még ha a tudás megszerzése is a hallgatók célja, a számonkérés határidőt szab ehhez és a határidők jelentősen növelik a hatékonyságot. Adatok híján az intuíciómra támaszkodva, az esetek elenyésző hányada lehet az, aki hétről hétre tanulja az anyagot. Ezt sok korábban felmerült javaslat tudná pozitívan befolyásolni.
• Minden kurzushoz legyen tankönyv vagy jegyzet, amiből a hallgató pontosan követheti az anyagot. Első éven közös legyen a számonkérés az egész évfolyam számára, évfolyam ZH.
  • Én ezt kevésbé érzem kritikusnak, de előremutató. Kétségtelen, hogy sokat segít ha van jegyzet és tankönyv, ugyanakkor három veszélyt is látok: 1) ha a tananyag az előadások által lefedett anyagon túllép az nem feltétlenül probléma, azonban ha ez sok tárgy esetén megtörténik és ezek nincsenek felülről kontrollálva, akkor az jelenetős többletelvárást tud eredményezni. Ezért a tematikák kialakításánál erre figyelni kell. 2) Számomra mindig nagy dilemmát jelentett, hogy ha van tankönyv, ami egy az egyben követi az előadás anyagát, sőt, a számonkérés követelménye is a tankönyv, nem pedig az előadás, érdemes-e egyáltalán az előadásra bejárni. Erre az általam kialakított válasz: attól függ. 3) Tankönyvek elérhetősége a hallgatók számára fontos kérdés. Más karokon egyértelműen egy-egy tankönyv megtanulását várják el vizsgákra és ott félévente a hallgatók többsége sok-sok pénzt is fizet a tárgyanként 5-6.000 Ft-os könyvekért. Figyelembe véve, hogy itt külföldi könyvekről lenne szó leginkább, inkább a beszerezhetőség a kérdéses. Ebből kifolyólag a jegyzet jobb megoldás lenne, de az meg jelentős munkát jelent.
• Egy tárgy egy jegy legyen, azaz ne legyen külön gyakorlati és vizsgajegy, amit a zárthelyik, a házi feladatok és a vizsga eredménye együtt alakít ki.
  • Ennek van előnye és hátránya is. Figyelembe véve, hogy a gyakorlati számonkérés és a vizsga egy nem annyira organikus megbontása egy természetes egységnek, a javaslat racionális. Kockázatot jelent viszont az, hogy egy ilyen tárgy el nem végzése sokkal költségesebb (mind ráfordítandó időben, energiában, mind pénzben, kredittúllépés esetén). A kockázatot szerintem úgy lehet legjobban kezelni, ha reálisak a követelmények.
• Kerüljenek ki a hallgatók a burokból már a bsc-ben: kutatásra készülő hallgató kutathasson (TDK), ipari szférába készülő hallgató találkozhasson valós feladatokkal.
  • Teljesen egyetértek.
• A kiváló hallgatók kapjanak személyes mentorálási lehetőséget.
  • Ez is rendkívül előremutató lenne.
• A kollégák oktatási terhelése férjen bele heti 18-20 órába (a kontakt órákat, szakdolgozókat, doktoranduszokat, órákra készülést, jegyzetírást, házi feladat javítást, stb, beleértve), hogy a munkaidejük felében kutatni tudjanak, és beadhassanak komoly pályázatokat.
  • Ez végképp nem az én kompetenciám, de logikus keretfeltétel.
• Legyenek fizetett javítók a beadott házi feladatokhoz (pl. mesterszakosok és doktoranduszok).
  • A házi feladatok javítása egyszerű ügy, de én például gyakorlatvezetést is ideérteném. Ezt mindig egy remek lehetőségnek tartottam, de egy kis formális kontextust mindig hiányoltam. Valószínű az oktatók is látják, kiknek lenne erre affinitása vagy képessége, de a transzparencia talán mindenkinek kényelmesebb lehet. Például ha nyíltan ki van mondva, hogy „ha jól teljesítesz, bemutatod, hogy képes vagy megoldásokat érthetően elmondani másoknak, stb. akkor lehet ilyenre lehetőség” az szerintem már kicsit tisztázza a helyzetet. A felesleges szabályokat és merevséget kerülném, de a kereteket azért érdemes lehet tisztázni (bár lehet, hogy tisztázva van, csak én nem tudok róla). Ezt akár egyfajta személyes mentorálással is össze lehetne kapcsolni: a félév végén átbeszélni a gyakorlatvezető tapasztalatait, hol érzi, hogy fejlődni kéne, ebben segíteni, közösen ötletelni a kurzus felépítéséről, stb.

Információk a BSc átalakításról

Miért kell a reform?

Amit meg akarunk őrizni

• Kutatóképzés magas színvonala.
• Széles kínálat a matematika különböző területeiről.
• Logikus, szigorú gondolkodásra tanítás.

Amit módosítani szeretnénk

• Alapkészségek és alaptudás stabilabb legyen (hogyan szerepelnénk egy képzeletbeli PISA felmérésen).
• Több önálló munka, kevesebb frontális oktatás.
• A képzés rugalmasabbá tétele (tantárgyválasztás, átjárhatóság).
• A többség nem az akadémiai szférában helyezkedik el, igazítsuk jobban hozzájuk a képzés nekik szánt részét.
• A számonkérés fókusza: nem a szelektálás a cél, hanem a hallgatókat ahhoz segíteni, hogy az alapvető készségeket és lexikális tudást megszerezzék. Abból indulunk ki, hogy akiknek magas szintű képzést ajánlunk, azok a tudás megszerzéséért jönnek ide.
• Minden kurzushoz legyen tankönyv vagy jegyzet, amiből a hallgató pontosan követheti az anyagot. Első éven közös legyen a számonkérés az egész évfolyam számára, évfolyam ZH.
• Egy tárgy egy jegy legyen, azaz ne legyen külön gyakorlati és vizsgajegy, amit a zárthelyik, a házi feladatok és a vizsga eredménye együtt alakít ki.
• Kerüljenek ki a hallgatók a burokból már a bsc-ben: kutatásra készülő hallgató kutathasson (TDK), ipari szférába készülő hallgató találkozhasson valós feladatokkal.
• A kiváló hallgatók kapjanak személyes mentorálási lehetőséget.
• A kollégák oktatási terhelése férjen bele heti 18-20 órába (a kontakt órákat, szakdolgozókat, doktoranduszokat, órákra készülést, jegyzetírást, házi feladat javítást, stb, beleértve), hogy a munkaidejük felében kutatni tudjanak, és beadhassanak komoly pályázatokat.
• Legyenek fizetett javítók a beadott házi feladatokhoz (pl. mesterszakosok és doktoranduszok).

Mit tartalmaz az átalakítás?

A fenti célok megvalósítása érdekében következőket.

• A képzés első 3 féléve kötelező, a második rész pedig blokkokban választható tárgyakat tartalmaz. Ezek kredit értéke nagyjából 95 és 65. (A fennmaradó 20 kredit a szakdolgozat és a szabadon választható tárgyak.)
• A kötelező kreditek nagyjából fele az alapozó algebra és analízis, a másik fele pedig további öt terület között oszlik meg: Geometria, Sztochasztika, Diszkrét matematika (algoritmusok, kombinatorika, gráfelmélet), Operációkutatás, Alkalmazott analízis (numerikus módszerek, differenciálegyenletek). Ezeken kívül vannak az informatikai tárgyak.
• A blokkokban az alkalmazott képzéshez nagyjából 130 kreditnyi tárgyat (a kínálat kb. kétszerese a felveendő tárgyak mennyiségének), a kutatóképzéshez ezen felül 65-70 kreditnyi tárgyat hirdetünk meg, a hét területről.
• Az informatika tárgyak legyenek a mi hallgatóinkra szabva. Első évben egy Matlab egy Python és egy LaTeX tárgy legyen felajánlva, amit az Intézet tart meg (az első kötelező). A szimbolikus programcsomagok kurzust mi tartsuk meg a saját hallgatóinkra szabva. Az Adatbázisok, Java, C++ és esetleges további programozási tárgyakat az IK kínálatából vegyük.
• A kontaktóra legyen 1,5 kredit.
• Legalább a kötelező tárgyaknál a részletes tematika mellett szerepeljen, hogy milyen készségek kialakítását várjuk a tárgytól.
• A kötelező tárgyakon kívül ne legyenek előfeltételek, és minden tárgynál legyen a tematika mellett részletes tematikai előfeltétel (pl. ismerni kell a lineáris függetlenség vagy a parciális derivált fogalmát).

Geometria tematikák

Rövid címszavas (terv Első körös, amin változtatni kell még az óraszámok miatt (is))

Geometria 1 (2+2)

·         analitikus geometria

·         vektor geometria és alkalmazásai (gömbi távolságok)

·         konvexitás  (2-3 dim.-ban)

·         másodrendű görbék és felületek

·         alakzatok egyenletei

Geometria 2 (2+2 elemző-alk. mat) (Ez a mostani 2+2-ba nem fog beleférni)

·         Transzformációk

·         Projektív geometria

·         Differenciálgeometria

Geometria 2  (2+2 matematikus)

·         Transzformációk, Euklideszi izometriák

·         Szimmetria csoportok, Ortogonális csoportok, Szabályos politópok

·         Hasonlóságok

·         Inverzív geometria alapjai

·         Térfogat és felszín. 

·         Projektív geometria

Geometria 2 Matematikus

Tematika

·         Euklideszi izometriák. Az euklideszi tér és az izometria fogalma. Eltolások és ortogonális transzformációk. Az izometriák természetes felbontása ortogonális transzformáció és eltolás kompozíciójára. Az izometriák osztályozása 2 és 3 dimenzióban.

·         Ortogonális felbontások, vetítések, szimmetriák, tükrözések. Affin alterek szöge. Izometriák előállítása tükrözések szorzataként.

·         Ortogonális csoportok. Topológiai és algebrai tulajdonságok. Az SO(3) csoport egyszerű volta. A kvaterniók geometriája.

·         Szabályos politópok. Szabályos sokszögek és szabályos poliéderek szimmetriacsoportjai mint az O(2) és az O(3) csoport véges részcsoportjai. Szabályos politópok fogalma és konstrukciói. A szabályos politópok osztályozása magasabb dimenzióban.

·         Hasonlóságok. Hasonlósági transzformációk euklideszi térben. A hasonlósági transzformációk csoportjának szerkezete, a hasonlóságok koordinátás leírása. Gömbtartó leképezések.

·         Inverzív geometria. (Ez biztos szűkítve lesz) Gömbök és affin alterek kölcsönös helyzete, szöge. Hatvány, hatványhipersík. Gömbre vonatkozó inverzió euklideszi térben. Affin alterek és gömbök képe inverziónál. Érintkezéstartás, szögtartás.

·         Sztereografikus vetítés és tulajdonságai. A gömbi tükrözések és az inverziók közötti kapcsolat.

·         Euklideszi tér inverzív bővítése. Möbius-transzformációk inverzív térben és gömbön. Irányítástartó Möbius-transzformációk. A Möbius-transzformációk Poincaré-féle kiterjesztése.

·         Térfogat és felszín. A térfogat fogalma és főbb tulajdonságai euklideszi térben. Konvex testek approximációja politópokkal. Golyók térfogata. Politópok és konvex testek felszíne. A felszín monotonitása. Golyók felszíne.

·         Hausdorff-metrika. A térfogat és a felszín mint folytonos függvények. Blaschke kiválasztási tétele.

·         Paralleltartományok szerkezete, a Steiner–Minkowski-tétel. Steiner-féle szimmetrizáció. A felszín változása szimmetrizációnál.

·         Blaschke tétele a gömbről. Az izodiametrikus és az izoperimetrikus egyenlőtlenség.

Geometria 3 (mat 3+2)

Tematika

·         Projektív geometria

·         Projektív terek. A perspektív ábrázolás elemei. Az euklideszi tér kibővítése ideális térelemekkel. Egy affin tér kibővítése projektív térré. Projektív alterek, dimenzió-formula. Ferdetest feletti vektortérhez asszociált projektív terek. Reprezentáló vektorok és homogén koordináták. Desargues tétele. Papposz tétele és az alaptest kommutativitása. A valós projektív sík topológiája. Komplex projektív terek és a Hopf-fibrálás.

·         A projektív terek axiomatikus bevezetése. Az n-dimenziós projektív tér illeszkedési axiómái. Az alterek örökölt projektív tér struktúrája. Duális tér, a dualitás elve. Desargues tétele és az illeszkedési axiómák. Kollineációk, izomorf terek. Alterek közti kollineációk kiterjesztése. Centrális axiális kollineációk és a Desargues tétel. Minden n ≥ 3-dimenziós projektív tér és minden desarguesi projektív sík izomorf egy ferdetest feletti projektív térrel, illetve síkkal.

·         FPⁿ kollineációi. PGL(FPⁿ) és a testautomorfizmusok által indukált csoport. A projektív geometria alaptétele.

·         Kettősviszony. Definíció, tulajdonságok. Egyenesek közti kettősviszonytartó transzformációk. Papposz tétele a perspektív leképezésekről. Steiner-tengely. Harmonikus négyesek, a teljes négyoldal tétele. Fixpontok. Involúciók.

·         Alakzatsorok. Algebrai hiperfelületek projektív terei. Sorok. Példák sorokra: hipersíksorok; kör- és gömbsorok, ezek osztályozása; 4 általános helyzetű pontra illeszkedő másodrendű görbék sora. Desargues tétele egy másodrendű felületsor és egy egyenes metszetéről.

·         Másodrendű görbék és felületek. Analitikus megadás, regularitás. Konjugáltság, polaritás másodrendű felületre nézve. Érintő. Poláris geometriai szerkesztései. Egy másodrendű felület pontjainak polárisai, a dualitás elvének kiterjesztése. Másodrendű hiperfelületek projektív osztályozása. Kúpszeleti kettősviszony. Pascal és Brianchon tételei. Egy kúpszelet önmagába menő kettősviszonytartó leképezésének Steiner-tengelye. A Steiner-féle fixpont-szerkesztés.

A blokkba volt tervezve most a diffgeo, amibe a gömbi, hiperbolikus geo is beépül diffgeo-val feldolgozva)

Python 1

Ez egy nagyon bevezető kurzus azoknak akik még soha nem kaptak programozási oktatást. A kurzus célja a programozás alapvető gondolatainak bemutatása és a programozás iránti kedv felkeltése.


Irodalom: How to think like a computer scientist
https://media.readthedocs.org/pdf/howtothink/latest/howtothink.pdf
Ennek a könyvnek sok verziója van, ez a 2018 december 5.-ei változat. A cél ezen könyv első 11 fejezete. A 11.-ből legalalább az első feléig jó lenne eljutni.

Tartalom: Egyszerű adattípusok (int, float, string), típuskonvertálás. Értékadás, operátorok, operandusok, sorrendiség, modulus operátor. For ciklus turtle vektorgrafinkán bemutatva. Függvények, lokális paraméterek. Logikai opertárok, Boole függvények, kondiciónálás (True, False, if, else, elif). While ciklus, break és continue. Egymásba ágyazott ciklusok és egymásba ágyazott adattípusok. Sztringek, find és split metódusok. In and not in operátorok. Listák, klónozás. Szótárak. Modulok, fájlok. Rekurzió. Osztály fogalma, saját osztály készítése.

Ha marad idő a félévben akkor a következő témákkal érdemes esetleg foglalkozni: eseményvezérelt programozás, lista algoritmusok, objektum orientált programozás, hibakezelés.



Egyszerű programozási gondolatok. Inkrementális programozás, debugolás print paranccsal, tesztvezérelte programozás, átlátható programozás (kommentelés és szerkesztési elvek), függvénybe csomagolás, általánosítás. Mutálható és nem mutálható adattípusok.

Analízis alapkészségek

Csak az első éves minimumot vázolom. Ez böven kitölti az időt, és aki ezeket egy matekképzés után nem ismeri, az azért veszít az életminőségéből. De nem feltétlenül gondolom ezt mind analízisbe, hívhatunk ebből néhány dolgot geometriának.

Mindeképp kellene válogatni mi fontosabb, mi kevésbé. Amit fontosnak tartunk ahhoz tartozzon rendesen gyakorlat, akár előadás nélkül, a módszerekre koncentrálva a "szép (vagy helyes, vagy korrekt) felépítés" helyett. Erre is teszek javaslatot.

(A bizonyításokat vagy csak egyszerű feltételek mellett, vagy teljesen későbbre hagyva egy valódi analízis órára. Ez lehet a 3. félévben (ekkor két szinten) vagy még később.)

Az alábbiak fő  motivációja a Gyemidovics, de nagyon megvágtam, és nem csak az alapozás részeknél. (Sorozatok pl. csak mint asorok részeltösszegei szerepelnek.) A tervezet egyébként elég nagy részben megegyezik sok elit egyetem (MIT, Cambridge, Yale, Harvard) anyagával.

Elemi módszerek: (1. félév 0+3) Ezt gyakorolni kell, kézügyesség szinten.

A hallgató

-- Nem zavarodott össze a valós számok "alapozásával" járó nehézségekkel, mert nem látta őket. (A tapasztalat azt mutatja, hogy a matematikai bizonyításokba való bevezetés a valós számokon keresztül nagyon korai, a diákok többsége nem tart itt. Ez érettebb diákoknak való, akkor haladni is gyorsabban lehet majd. Másrészt éretlen diákokkal a matematikai bizonyítások teljes anatómiai vizsgálata a valós számok kapcsán azt eredményezi, hogy addig nem tudunk eljutni, ahol a 1700-as évek elején tartott az analízis.)

Viszont

--  Képes lesz (bebizonyítani és) alkalmazni a deriválási szabályokat.

-- Tudja alkalmazni a differenciálszámítást szélsőértékproblémák megoldására.

-- Ismeri az integrál definícióját, és annak kapcsolatát a deriválással. Képes elemi integrálokat meghatározni.

-- Az integrálás alapmódszereivel meg tud oldani egyszerű differenciál egyenleteket.

-- Ismeri az elemi függvények polinomiális közelítéseit. Tisztában van a hatványsor konvergencia sugarának fogalmával, és meg tudja adni az elemi függvények hatványsorba fejtését.

Végtelen sorok: (2. félév 2+0) Ez nagyjából a Császár-Turczy könyv alapján, amit levelezőknek, estiseknek adtak anno. Menni fog előadás és házi feladat alapon. Esetleg fakultatív számítógépes labor jó lenne hozzá. (Heti egy órában amit inkább 2 hetente két órában jó tartani.) 

Amit itt felsorolok, majdnem mind ismert volt 1829-re, beleértve a Fourier sorok konvergenciájának eseteit is (Dirichlet).

A hallgató a kurzus elvégzése után

-- Érti a végtelen sor konvergenciájának fogalmát, és tudja használni a legismertebb konvergencia kritériumokat.

-- Megismerte az improprius integrál fogalmát és tudja használni végtelen sorok vizsgálatában.

-- Ismeri a hatványsorok tagonkénti deriválásáról és integrálásáról szóló tételeket, és képes azokat használni.

-- Meg tudja határozni egy függvény Fourier sorát, és ismeri a Fourier sorok legalapvetőbb alkalmazásait.

-- (Megismerte, hogy egy függvény Fourier sora többféle értelemben állíthatja elő a függvényt. Ismer egyszerű feltételeket amik garantálják a Fourier-sor pontonkénti, vagy egyenletes konvergenciáját.)

Elemi vektorszámítás (1. félév 0+3) Ha nem a deriválási, inetgrálási technikákban polinomokra, elemi föggvényekre szorítkozunk, akkor meg van a háttér. Azokon keresztül a többváltozóban megjelenő új jelenségekre, új gondolkodásmódra tudunk szorítkozni. Számítógépes vizualizáció nagyon jó lenne hozzá. 

Nyilvánvaló nem jutottunk nagyon messze, (cca 1800) de ha ezt kihagyjuk, akkor az egész többváltozó egy légvár lesz. (A legtöbb embernek.)

A hallgató kurzus elvégzése után

-- Ismeri a vektorműveleteket és fel tudja írni sík, egyenes egyenletét


-- Ki tudja számolni mozgó részecske sebességát, gyorsulását, a leírt pálya hosszát, görbületét. 

-- Ki tudja számítani két és három változós függvények görbe menti deriváltját.

-- Meg tudja határozni két és három változós függvények első és másodrendű közelítéseit. Ismeri a kritikus pontok szerepét a szélsőértékszámításban.

-- Meg tudja vizsgálni két változós függvények szintvonalait, illeve 3 változós függvények szintfelületeit a gradiens segítségével.

-- Ismeri a Lagrange féle multipkikátor módszer geometriai jelentését és képes a módszert alkalmazva feltételes szélsőértéket számolni.

-- Képes egy vektormezőt és integrálgörbéit ábrázolni.

Haladó vagy alkalmazott vektorszámítás (2. félév 2+0) A fizikai alkalmazások megfelelő környezetbe helyezik az eddig tanultakat.

Na, a Schrödinger miatt már eljutink at 1920-as évekig. Szuper. Ha azt levesszük, akkor még mindig a XIX. században járunk.

A hallgató kurzus elvégzése után

-- Ismeri a kettős és hármas integrál intuitív fogalmát és ki tudja azokat számolni szukcesszív integrálással. 


-- Képes polár és gömbi koordinátákban deriválni és integrálni

-- Ki tudja számolni skalár vagy vektormező vonalintegrálját, feluleti integrálját a definíció alapján, vagy az integráltételekből.


-- Megismerte a matematika szerepét a fizikában: Newtonból Kepler, Maxwell diffenerenciál és integrál alakok egyenértékűsége, A folytonossági egyenlet folyadékok dinamikájában, A Laplace operátor szerepe a hővezetés, a hullámterjedés és a Schrödinger egyenletekben.

Analízis 3. félév. Két szinten, és elég szabadon. Mindenki úgy alapoz ahogy akar, a lényeg, hogy bizonyítani tanulnak. 

Az alapozás kiindulópontja ad hoc. Miért nem a Peano axiómák? Az alapozás legjobb módjáról minden általam ismert matematikusnak saját elképzelése van. Ennek a módját nem érdemes előrírni.

Alternatív lehetőség analízis órára: a kölönböző hatérképzések, (limesz, integál, sor) felcserélhetőségének technikái. (Euler-Fubini-Petruska tételkör.) Ez vsz ráér később, bár matematikusnak nagyon hasznos már itt.