Információk a BSc átalakításról

Miért kell a reform?

Amit meg akarunk őrizni

• Kutatóképzés magas színvonala.
• Széles kínálat a matematika különböző területeiről.
• Logikus, szigorú gondolkodásra tanítás.

Amit módosítani szeretnénk

• Alapkészségek és alaptudás stabilabb legyen (hogyan szerepelnénk egy képzeletbeli PISA felmérésen).
• Több önálló munka, kevesebb frontális oktatás.
• A képzés rugalmasabbá tétele (tantárgyválasztás, átjárhatóság).
• A többség nem az akadémiai szférában helyezkedik el, igazítsuk jobban hozzájuk a képzés nekik szánt részét.
• A számonkérés fókusza: nem a szelektálás a cél, hanem a hallgatókat ahhoz segíteni, hogy az alapvető készségeket és lexikális tudást megszerezzék. Abból indulunk ki, hogy akiknek magas szintű képzést ajánlunk, azok a tudás megszerzéséért jönnek ide.
• Minden kurzushoz legyen tankönyv vagy jegyzet, amiből a hallgató pontosan követheti az anyagot. Első éven közös legyen a számonkérés az egész évfolyam számára, évfolyam ZH.
• Egy tárgy egy jegy legyen, azaz ne legyen külön gyakorlati és vizsgajegy, amit a zárthelyik, a házi feladatok és a vizsga eredménye együtt alakít ki.
• Kerüljenek ki a hallgatók a burokból már a bsc-ben: kutatásra készülő hallgató kutathasson (TDK), ipari szférába készülő hallgató találkozhasson valós feladatokkal.
• A kiváló hallgatók kapjanak személyes mentorálási lehetőséget.
• A kollégák oktatási terhelése férjen bele heti 18-20 órába (a kontakt órákat, szakdolgozókat, doktoranduszokat, órákra készülést, jegyzetírást, házi feladat javítást, stb, beleértve), hogy a munkaidejük felében kutatni tudjanak, és beadhassanak komoly pályázatokat.
• Legyenek fizetett javítók a beadott házi feladatokhoz (pl. mesterszakosok és doktoranduszok).

Mit tartalmaz az átalakítás?

A fenti célok megvalósítása érdekében következőket.

• A képzés első 3 féléve kötelező, a második rész pedig blokkokban választható tárgyakat tartalmaz. Ezek kredit értéke nagyjából 95 és 65. (A fennmaradó 20 kredit a szakdolgozat és a szabadon választható tárgyak.)
• A kötelező kreditek nagyjából fele az alapozó algebra és analízis, a másik fele pedig további öt terület között oszlik meg: Geometria, Sztochasztika, Diszkrét matematika (algoritmusok, kombinatorika, gráfelmélet), Operációkutatás, Alkalmazott analízis (numerikus módszerek, differenciálegyenletek). Ezeken kívül vannak az informatikai tárgyak.
• A blokkokban az alkalmazott képzéshez nagyjából 130 kreditnyi tárgyat (a kínálat kb. kétszerese a felveendő tárgyak mennyiségének), a kutatóképzéshez ezen felül 65-70 kreditnyi tárgyat hirdetünk meg, a hét területről.
• Az informatika tárgyak legyenek a mi hallgatóinkra szabva. Első évben egy Matlab egy Python és egy LaTeX tárgy legyen felajánlva, amit az Intézet tart meg (az első kötelező). A szimbolikus programcsomagok kurzust mi tartsuk meg a saját hallgatóinkra szabva. Az Adatbázisok, Java, C++ és esetleges további programozási tárgyakat az IK kínálatából vegyük.
• A kontaktóra legyen 1,5 kredit.
• Legalább a kötelező tárgyaknál a részletes tematika mellett szerepeljen, hogy milyen készségek kialakítását várjuk a tárgytól.
• A kötelező tárgyakon kívül ne legyenek előfeltételek, és minden tárgynál legyen a tematika mellett részletes tematikai előfeltétel (pl. ismerni kell a lineáris függetlenség vagy a parciális derivált fogalmát).

Geometria tematikák

Rövid címszavas (terv Első körös, amin változtatni kell még az óraszámok miatt (is))

Geometria 1 (2+2)

·         analitikus geometria

·         vektor geometria és alkalmazásai (gömbi távolságok)

·         konvexitás  (2-3 dim.-ban)

·         másodrendű görbék és felületek

·         alakzatok egyenletei

Geometria 2 (2+2 elemző-alk. mat) (Ez a mostani 2+2-ba nem fog beleférni)

·         Transzformációk

·         Projektív geometria

·         Differenciálgeometria

Geometria 2  (2+2 matematikus)

·         Transzformációk, Euklideszi izometriák

·         Szimmetria csoportok, Ortogonális csoportok, Szabályos politópok

·         Hasonlóságok

·         Inverzív geometria alapjai

·         Térfogat és felszín. 

·         Projektív geometria

Geometria 2 Matematikus

Tematika

·         Euklideszi izometriák. Az euklideszi tér és az izometria fogalma. Eltolások és ortogonális transzformációk. Az izometriák természetes felbontása ortogonális transzformáció és eltolás kompozíciójára. Az izometriák osztályozása 2 és 3 dimenzióban.

·         Ortogonális felbontások, vetítések, szimmetriák, tükrözések. Affin alterek szöge. Izometriák előállítása tükrözések szorzataként.

·         Ortogonális csoportok. Topológiai és algebrai tulajdonságok. Az SO(3) csoport egyszerű volta. A kvaterniók geometriája.

·         Szabályos politópok. Szabályos sokszögek és szabályos poliéderek szimmetriacsoportjai mint az O(2) és az O(3) csoport véges részcsoportjai. Szabályos politópok fogalma és konstrukciói. A szabályos politópok osztályozása magasabb dimenzióban.

·         Hasonlóságok. Hasonlósági transzformációk euklideszi térben. A hasonlósági transzformációk csoportjának szerkezete, a hasonlóságok koordinátás leírása. Gömbtartó leképezések.

·         Inverzív geometria. (Ez biztos szűkítve lesz) Gömbök és affin alterek kölcsönös helyzete, szöge. Hatvány, hatványhipersík. Gömbre vonatkozó inverzió euklideszi térben. Affin alterek és gömbök képe inverziónál. Érintkezéstartás, szögtartás.

·         Sztereografikus vetítés és tulajdonságai. A gömbi tükrözések és az inverziók közötti kapcsolat.

·         Euklideszi tér inverzív bővítése. Möbius-transzformációk inverzív térben és gömbön. Irányítástartó Möbius-transzformációk. A Möbius-transzformációk Poincaré-féle kiterjesztése.

·         Térfogat és felszín. A térfogat fogalma és főbb tulajdonságai euklideszi térben. Konvex testek approximációja politópokkal. Golyók térfogata. Politópok és konvex testek felszíne. A felszín monotonitása. Golyók felszíne.

·         Hausdorff-metrika. A térfogat és a felszín mint folytonos függvények. Blaschke kiválasztási tétele.

·         Paralleltartományok szerkezete, a Steiner–Minkowski-tétel. Steiner-féle szimmetrizáció. A felszín változása szimmetrizációnál.

·         Blaschke tétele a gömbről. Az izodiametrikus és az izoperimetrikus egyenlőtlenség.

Geometria 3 (mat 3+2)

Tematika

·         Projektív geometria

·         Projektív terek. A perspektív ábrázolás elemei. Az euklideszi tér kibővítése ideális térelemekkel. Egy affin tér kibővítése projektív térré. Projektív alterek, dimenzió-formula. Ferdetest feletti vektortérhez asszociált projektív terek. Reprezentáló vektorok és homogén koordináták. Desargues tétele. Papposz tétele és az alaptest kommutativitása. A valós projektív sík topológiája. Komplex projektív terek és a Hopf-fibrálás.

·         A projektív terek axiomatikus bevezetése. Az n-dimenziós projektív tér illeszkedési axiómái. Az alterek örökölt projektív tér struktúrája. Duális tér, a dualitás elve. Desargues tétele és az illeszkedési axiómák. Kollineációk, izomorf terek. Alterek közti kollineációk kiterjesztése. Centrális axiális kollineációk és a Desargues tétel. Minden n ≥ 3-dimenziós projektív tér és minden desarguesi projektív sík izomorf egy ferdetest feletti projektív térrel, illetve síkkal.

·         FPⁿ kollineációi. PGL(FPⁿ) és a testautomorfizmusok által indukált csoport. A projektív geometria alaptétele.

·         Kettősviszony. Definíció, tulajdonságok. Egyenesek közti kettősviszonytartó transzformációk. Papposz tétele a perspektív leképezésekről. Steiner-tengely. Harmonikus négyesek, a teljes négyoldal tétele. Fixpontok. Involúciók.

·         Alakzatsorok. Algebrai hiperfelületek projektív terei. Sorok. Példák sorokra: hipersíksorok; kör- és gömbsorok, ezek osztályozása; 4 általános helyzetű pontra illeszkedő másodrendű görbék sora. Desargues tétele egy másodrendű felületsor és egy egyenes metszetéről.

·         Másodrendű görbék és felületek. Analitikus megadás, regularitás. Konjugáltság, polaritás másodrendű felületre nézve. Érintő. Poláris geometriai szerkesztései. Egy másodrendű felület pontjainak polárisai, a dualitás elvének kiterjesztése. Másodrendű hiperfelületek projektív osztályozása. Kúpszeleti kettősviszony. Pascal és Brianchon tételei. Egy kúpszelet önmagába menő kettősviszonytartó leképezésének Steiner-tengelye. A Steiner-féle fixpont-szerkesztés.

A blokkba volt tervezve most a diffgeo, amibe a gömbi, hiperbolikus geo is beépül diffgeo-val feldolgozva)

Python 1

Ez egy nagyon bevezető kurzus azoknak akik még soha nem kaptak programozási oktatást. A kurzus célja a programozás alapvető gondolatainak bemutatása és a programozás iránti kedv felkeltése.


Irodalom: How to think like a computer scientist
https://media.readthedocs.org/pdf/howtothink/latest/howtothink.pdf
Ennek a könyvnek sok verziója van, ez a 2018 december 5.-ei változat. A cél ezen könyv első 11 fejezete. A 11.-ből legalalább az első feléig jó lenne eljutni.

Tartalom: Egyszerű adattípusok (int, float, string), típuskonvertálás. Értékadás, operátorok, operandusok, sorrendiség, modulus operátor. For ciklus turtle vektorgrafinkán bemutatva. Függvények, lokális paraméterek. Logikai opertárok, Boole függvények, kondiciónálás (True, False, if, else, elif). While ciklus, break és continue. Egymásba ágyazott ciklusok és egymásba ágyazott adattípusok. Sztringek, find és split metódusok. In and not in operátorok. Listák, klónozás. Szótárak. Modulok, fájlok. Rekurzió. Osztály fogalma, saját osztály készítése.

Ha marad idő a félévben akkor a következő témákkal érdemes esetleg foglalkozni: eseményvezérelt programozás, lista algoritmusok, objektum orientált programozás, hibakezelés.



Egyszerű programozási gondolatok. Inkrementális programozás, debugolás print paranccsal, tesztvezérelte programozás, átlátható programozás (kommentelés és szerkesztési elvek), függvénybe csomagolás, általánosítás. Mutálható és nem mutálható adattípusok.

Analízis alapkészségek

Csak az első éves minimumot vázolom. Ez böven kitölti az időt, és aki ezeket egy matekképzés után nem ismeri, az azért veszít az életminőségéből. De nem feltétlenül gondolom ezt mind analízisbe, hívhatunk ebből néhány dolgot geometriának.

Mindeképp kellene válogatni mi fontosabb, mi kevésbé. Amit fontosnak tartunk ahhoz tartozzon rendesen gyakorlat, akár előadás nélkül, a módszerekre koncentrálva a "szép (vagy helyes, vagy korrekt) felépítés" helyett. Erre is teszek javaslatot.

(A bizonyításokat vagy csak egyszerű feltételek mellett, vagy teljesen későbbre hagyva egy valódi analízis órára. Ez lehet a 3. félévben (ekkor két szinten) vagy még később.)

Az alábbiak fő  motivációja a Gyemidovics, de nagyon megvágtam, és nem csak az alapozás részeknél. (Sorozatok pl. csak mint asorok részeltösszegei szerepelnek.) A tervezet egyébként elég nagy részben megegyezik sok elit egyetem (MIT, Cambridge, Yale, Harvard) anyagával.

Elemi módszerek: (1. félév 0+3) Ezt gyakorolni kell, kézügyesség szinten.

A hallgató

-- Nem zavarodott össze a valós számok "alapozásával" járó nehézségekkel, mert nem látta őket. (A tapasztalat azt mutatja, hogy a matematikai bizonyításokba való bevezetés a valós számokon keresztül nagyon korai, a diákok többsége nem tart itt. Ez érettebb diákoknak való, akkor haladni is gyorsabban lehet majd. Másrészt éretlen diákokkal a matematikai bizonyítások teljes anatómiai vizsgálata a valós számok kapcsán azt eredményezi, hogy addig nem tudunk eljutni, ahol a 1700-as évek elején tartott az analízis.)

Viszont

--  Képes lesz (bebizonyítani és) alkalmazni a deriválási szabályokat.

-- Tudja alkalmazni a differenciálszámítást szélsőértékproblémák megoldására.

-- Ismeri az integrál definícióját, és annak kapcsolatát a deriválással. Képes elemi integrálokat meghatározni.

-- Az integrálás alapmódszereivel meg tud oldani egyszerű differenciál egyenleteket.

-- Ismeri az elemi függvények polinomiális közelítéseit. Tisztában van a hatványsor konvergencia sugarának fogalmával, és meg tudja adni az elemi függvények hatványsorba fejtését.

Végtelen sorok: (2. félév 2+0) Ez nagyjából a Császár-Turczy könyv alapján, amit levelezőknek, estiseknek adtak anno. Menni fog előadás és házi feladat alapon. Esetleg fakultatív számítógépes labor jó lenne hozzá. (Heti egy órában amit inkább 2 hetente két órában jó tartani.) 

Amit itt felsorolok, majdnem mind ismert volt 1829-re, beleértve a Fourier sorok konvergenciájának eseteit is (Dirichlet).

A hallgató a kurzus elvégzése után

-- Érti a végtelen sor konvergenciájának fogalmát, és tudja használni a legismertebb konvergencia kritériumokat.

-- Megismerte az improprius integrál fogalmát és tudja használni végtelen sorok vizsgálatában.

-- Ismeri a hatványsorok tagonkénti deriválásáról és integrálásáról szóló tételeket, és képes azokat használni.

-- Meg tudja határozni egy függvény Fourier sorát, és ismeri a Fourier sorok legalapvetőbb alkalmazásait.

-- (Megismerte, hogy egy függvény Fourier sora többféle értelemben állíthatja elő a függvényt. Ismer egyszerű feltételeket amik garantálják a Fourier-sor pontonkénti, vagy egyenletes konvergenciáját.)

Elemi vektorszámítás (1. félév 0+3) Ha nem a deriválási, inetgrálási technikákban polinomokra, elemi föggvényekre szorítkozunk, akkor meg van a háttér. Azokon keresztül a többváltozóban megjelenő új jelenségekre, új gondolkodásmódra tudunk szorítkozni. Számítógépes vizualizáció nagyon jó lenne hozzá. 

Nyilvánvaló nem jutottunk nagyon messze, (cca 1800) de ha ezt kihagyjuk, akkor az egész többváltozó egy légvár lesz. (A legtöbb embernek.)

A hallgató kurzus elvégzése után

-- Ismeri a vektorműveleteket és fel tudja írni sík, egyenes egyenletét


-- Ki tudja számolni mozgó részecske sebességát, gyorsulását, a leírt pálya hosszát, görbületét. 

-- Ki tudja számítani két és három változós függvények görbe menti deriváltját.

-- Meg tudja határozni két és három változós függvények első és másodrendű közelítéseit. Ismeri a kritikus pontok szerepét a szélsőértékszámításban.

-- Meg tudja vizsgálni két változós függvények szintvonalait, illeve 3 változós függvények szintfelületeit a gradiens segítségével.

-- Ismeri a Lagrange féle multipkikátor módszer geometriai jelentését és képes a módszert alkalmazva feltételes szélsőértéket számolni.

-- Képes egy vektormezőt és integrálgörbéit ábrázolni.

Haladó vagy alkalmazott vektorszámítás (2. félév 2+0) A fizikai alkalmazások megfelelő környezetbe helyezik az eddig tanultakat.

Na, a Schrödinger miatt már eljutink at 1920-as évekig. Szuper. Ha azt levesszük, akkor még mindig a XIX. században járunk.

A hallgató kurzus elvégzése után

-- Ismeri a kettős és hármas integrál intuitív fogalmát és ki tudja azokat számolni szukcesszív integrálással. 


-- Képes polár és gömbi koordinátákban deriválni és integrálni

-- Ki tudja számolni skalár vagy vektormező vonalintegrálját, feluleti integrálját a definíció alapján, vagy az integráltételekből.


-- Megismerte a matematika szerepét a fizikában: Newtonból Kepler, Maxwell diffenerenciál és integrál alakok egyenértékűsége, A folytonossági egyenlet folyadékok dinamikájában, A Laplace operátor szerepe a hővezetés, a hullámterjedés és a Schrödinger egyenletekben.

Analízis 3. félév. Két szinten, és elég szabadon. Mindenki úgy alapoz ahogy akar, a lényeg, hogy bizonyítani tanulnak. 

Az alapozás kiindulópontja ad hoc. Miért nem a Peano axiómák? Az alapozás legjobb módjáról minden általam ismert matematikusnak saját elképzelése van. Ennek a módját nem érdemes előrírni.

Alternatív lehetőség analízis órára: a kölönböző hatérképzések, (limesz, integál, sor) felcserélhetőségének technikái. (Euler-Fubini-Petruska tételkör.) Ez vsz ráér később, bár matematikusnak nagyon hasznos már itt.

A Csoportok és gyűrűk (alternatív kötelező), illetve a Testek és modulusok (blokk) című tárgyak

Az alábbi tematikában csak azt sorolom fel, ami az algebra kötelező törzsanyagban nem szerepel. Itt sem tükrözi feltétlenül a felépítés sorrendjét a tematika. Együtt szerepel a két tárgy tematikája, mert az lenne az elképzelés, hogy akik a Csoportok és gyűrűket veszik fel, azoknak kötelező a Testek és modulusok is (az Absztrakt algebra és alkalmazásai tárgyat csak a kettő együtt váltja ki).

-----

Törzsanyag:

Sylow-tételek. Szabad csoport, csoport megadása generátorokkal és relációkkal.

Krull tétele maximális ideál létezéséről. Noether-gyűrűk, Hilbert bázis-tétele. Egész elemek gyűrűbővítésben.

A Galois-elmélet főtétele, Galois-kapcsolat a közbülső testek és a részcsoportok között. A Galois-csoport mint a polinom gyökeinek permutációcsoportja.

Geometriai szerkesztések, nevezetes lehetetlenségi tételek. Körosztási bővítések Galois csoportja. Radikálbővítések jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával. A legalább 5-ödfokú egyenletre nem létezik gyökképlet. Minden testnek létezik algebrai lezártja.

Modulusok. Minden modulus szabadnak faktormodulusa. Elem, ill. modulus annullátora. \(\operatorname{Hom}_R(A,B)\) mint Abel-csoport, ha \(R\) kommutatív, akkor \(R\)-modulus. Projektív, ill. injektív modulusok. Projektív modulusok, mint szabad modulusok direktösszeadandói. Tenzorszorzat mint a bilineáris függvények klasszifikálója, megadása generátorokkal és relációkkal. Egzakt sorozatok, kommutatív diagramok, a \(\operatorname{Hom}\) és a \(\otimes\) egzaktsági tulajdonságai. Főideálgyűrű feletti végesen generált modulusok. Kapcsolat Jordan-féle normálalakkal, illetve a véges Abel-csoportok alaptételével. Jacobson radikál, Nakayama lemma. Schur-lemma, test fölötti végesdimenziós egyszerű algebrák jellemzése ferdetest feletti mátrixgyűrűkként.


További opcionális témák:


1) Csoportelmélet: Jordan-Hölder tétel. Nilpotens csoportok jellemzése alsó és felső centrális lánccal, illetve Sylowok direkt szorzataként. Injektív és osztható Abel-csoportok. Hall tételei. Csoportalgebra, Maschke-tétel. Csoportreprezentációk és karakterek, Burnside kétprímes tétele.


2) Kommutatív gyűrűk: Hilbert nullhelytétele. Prímérfelbontás, Lasker-Noether tétel.


3) Nemkommutatív gyűrűk: féligegyszerű modulusok és gyűrűk. A Wedderburn-Artin tétel általános alakja. Kvaternióalgebrák, kapcsolatuk kvadratikus alakokkal. Centrális egyszerű algebrák és klasszifikációjuk Galois-kociklusokkal.


4) Hálók. Részben rendezett halmaz. Legkisebb felső korlát, legnagyobb alsó korlát, háló. A hálók megadása a műveletekre vonatkozó axiómarendszerrel. A két definíció ekvivalenciája. Moduláris és disztributív hálók. A normálosztóháló, ill. a részmodulusháló moduláris. Stone-tétel disztributív hálókra. Komplementum. Boole-algebra.


5) Univerzális algebra. Általános algebrai struktúrák, típus. Részalgebra, homomorfizmus direkt szorzat. Azonosság, azonosságokkal definiálható osztály, varietás. Szabad algebra. Birkhoff tétele.


6) Kategóriák és funktorok. Természetes transzformációk. Adjungált funktorok, a \(\otimes\) és a \(\operatorname{Hom}\) egymás adjungáltjai. A szabad objektumok mint a \(\operatorname{Set}\)-be menő felejtő funktor adjungáltjának képei. Yoneda-lemma.


7) Newton-poligonok, irreducibilitási kritérium, kapcsolat a Puiseux-sorfejtéssel. \(p\)-adikus számok, Ostrowski tétele \(\mathbb{Q}\)-n értelmezett abszolútértékekről. Rendezett gyűrűk és testek.

Alkmat algebra kötelező törzsanyag (javaslat)

Az alábbi tematika nem tükrözi a felépítés sorrendjét, sem az előadásét, sem az egyes tárgyakét! Az összetartozó dolgokat próbáltuk egy helyre beírni, leginkább szigorlati tematika jellegű. Például a polinomok oszthatósága nyilván sokkal később jön, mint az egész számoké, de ez utóbbi mégsem szerepel külön. Hasonlóképpen polinomokat nyilván valósak fölött tanulunk először, és az absztrakt struktúrákat csak az érési folyamat közben, fokozatosan vezetjük be. Sok tételt nem bizonyítunk (csak a matematikus változatban).

------------------
Műveletek komplex számokkal, konjugált, abszolút érték, trigonometrikus alak, az összeadás és a szorzás geometriai jelentése. Moivre képlete, gyökvonás. Egységgyök, rend, primitív egységgyök, körosztási polinom.

Kommutatív, nullosztómentes, egységelemes gyűrű, a modulo m maradékosztályok gyűrűje. Test nullosztómentes, a komplex számok és a mod prím maradékosztályok teste. Polinomok gyűrű fölött, a fokszám tulajdonságai. Gyöktényező kiemelése, a nullosztómentesség szerepe, a polinomok azonossági tétele. Polinomfüggvények. Többszörös gyökök, meghatározásuk deriválás segítségével. Racionális gyökök keresése. A gyökök és együtthatók összefüggése, szimmetrikus polinomok.

Oszthatóság, prím és felbonthatatlan elem kommutatív gyűrűben. Euklideszi gyűrű és algoritmus, kitüntetett közös osztó, lineáris diofantikus egyenlet. A számelmélet alaptétele.

Az algebra alaptétele. Irreducibilis polinomok C, R fölött, konjugált gyökpárok. Irreducibilitás Q fölött, Schönemann-Eisenstein-kritérium.

Elemrend csoportban, speciálisan számelméletben, komplex számok, geometriai transzformációk és permutációk esetében. Permutációk ciklusfelbontása, előjele, szorzástétel. A determináns definíciója, alaptulajdonságai, kiszámítása Gauss-eliminációval. Kifejtés és ferde kifejtés, szorzástétel. A determináns, mint előjeles térfogat.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Vektor- és mátrixműveletek, transzponált, invertálhatóság, az inverz képlete és kiszámítása Gauss-eliminációval.

A számelmélet alaptételének alkalmazásai: lnko, lkkt, osztók száma és összege, Euler-függvény. Kongruenciák, lineáris kongruencia-rendszerek megoldhatósága. Primitív gyök, diszkrét logaritmus. Hatványmaradékok, kvadratikus reciprocitás. Wilson tétele. Prímszámokkal kapcsolatos nevezetes tételek és sejtések. Nevezetes diofantikus egyenletek. RSA titkosítás.

Vektortér, altér, generált altér. Függés függetlenség, bázis, dimenzió. Lineáris leképezések, műveletek, mátrixuk, bázistranszformáció. Dimenziótétel, az invertálhatóság és a nullosztók kapcsolata. Lineáris leképezés és vektorrendszer rangja. Mátrix sor- és oszloprangja egyenlő. Összeg és szorzat rangja.

Sajátérték, karakterisztikus polinom, diagonalizálhatóság. Euklideszi gyűrű és főideálgyűrű kapcsolata, minimálpolinom. Cayley-Hamilton-tétel. Jordan-normálalak. Véges Markov-folyamatok.

Skaláris szorzat, euklideszi tér, hossz, szög, CBS-egyenlőtlenség. Gram-Schmidt-ortogonalizáció, ortogonális kiegészítő altér. Leképezés és mátrix adjungáltja. Normális, önadjungált, unitér, szimmetrikus és ortogonális transzformációk, egybevágóságok. Főtengelytétel. Kvadratikus alak jellege, négyzetösszeg alakja. Bilineáris függvény, tehetetlenségi tétel. SVD-felbontás.

Példák csoportokra: mátrixcsoportok, geometriai transzformációk csoportjai, diédercsoport, szimmetrikus- és alternáló csoport, kvaterniócsoport. Részcsoport, generált részcsoport, Lagrange tétele, számelméleti vonatkozások. Ciklikus csoport elemrendjei, részcsoportjai. Pálya és stabilizátor, szimmetriák, leszámlálások. Homomorfizmus, normálosztó, faktorcsoport, direkt szorzat, elemrend direkt szorzatban. Izomorfia, kis elemszámú csoportok. A véges Abel-csoportok alaptétele. Egyszerű csoportok.

Egyszerű gyűrű, példák, balideálmentes gyűrűk, Wedderburn tétele. Faktorgyűrű, egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideál szerinti faktora test. Testbővítések konstrukciója. Egyszerű bővítés, elem minimálpolinomja, fokszám. Algebrai és transzcendens számok. Normális bővítés. Algebra elemének minimálpolinomja, Frobenius tétele. Kvaterniók, geometriai alkalmazások.

Karakterisztika, prímtest. A véges testek elemszáma, additív és multiplikatív csoportjának szerkezete, résztestei, normalitás, Frobenius-automorfizmus. Irreducibilis polinomok véges testek fölött. Alkalmazás: a kódelmélet alapjai, BCH-kód.